Задание 2: В треугольнике ABC ∠C=60°, ∠B=90°. Высота ВВ равна 2см. Найти АВ.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \):

1. \( \angle B = 90^{\circ} \), \( \angle C = 60^{\circ} \).
2. Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
3. Высота \( BB_1 \) проведена из вершины \( B \) к гипотенузе \( AC \).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BB_1C \): \( \angle BB_1C = 90^{\circ} \), \( \angle C = 60^{\circ} \).
5. Тогда \( \angle CBB_1 = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
6. В \( \triangle BB_1C \) катет \( BB_1 \) лежит напротив угла \( 60^{\circ} \), а катет \( B_1C \) — напротив угла \( 30^{\circ} \).
7. Отношение катетов в прямоугольном треугольнике: \( \frac{BB_1}{B_1C} = \sqrt{3} \), то есть \( B_1C = \frac{BB_1}{\sqrt{3}} \).
8. \( B_1C = \frac{2}{\sqrt{3}} \) см.
9. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \). Угол \( A = 30^{\circ} \).
10. Высота \( BB_1 = 2 \) см.
11. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABB_1 \): \( \angle ABB_1 = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
12. В \( \triangle ABC \) катет \( BB_1 = 2 \) см лежит против угла \( 30^{\circ} \).
13. Гипотенуза \( AB \) в два раза больше катета, лежащего против угла \( 30^{\circ} \).
14. \( AB = 2 \cdot BB_1 = 2 \cdot 2 = 4 \) см.

Ответ: \( AB = 4 \) см.