Задание №1. Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите величину угла BAC, если известно, что ∠ACB = 52° и AC = 3BM.

Медианы пересекаются в точке M — центре тяжести треугольника. Поэтому медиана BB₁ делится точкой M в отношении 2:1, считая от вершины B, то есть BM составляет две трети медианы BB₁.

Но медиана, проведённая к стороне AC, не меньше половины этой стороны: BM₁ ≥ AC/2, где BM₁ обозначает длину медианы BB₁. Следовательно, BM = 2BM₁/3 ≥ AC/3. При этом равенство AC = 3BM возможно только при BM₁ = AC/2, что требует AB = BC и, соответственно, равенства углов A и C.

Тогда ∠BAC = ∠ACB = 52°, однако при таком треугольнике равенство AC = 3BM не выполняется: при AB = BC медиана BB₁ является также высотой, и её длина равна AC·cos(26°), а не AC/3. Значит, данные условия противоречивы.

Ответ: такого треугольника не существует; условие задачи противоречиво.