Задание №1. На сторонах FE и FD параллелограмма FECD взяты точки M и N так, что прямые MC и NC делят параллелограмм на три равновеликие части. Найдите MN, если ED = 5.

Обозначим площадь параллелограмма через \(S\).

1. Треугольник EMC составляет одну из трёх равных частей. Его основание EM лежит на стороне FE, а высота равна высоте параллелограмма. Поэтому \(\frac{[EMC]}{S}=\frac{EM}{2FE}=\frac13\), откуда \(EM=\frac23FE\) и \(FM=\frac13FE\).
2. Аналогично для треугольника DNC: \(\frac{[DNC]}{S}=\frac{DN}{2FD}=\frac13\). Значит, \(DN=\frac23FD\) и \(FN=\frac13FD\).
3. В треугольнике FDE точки M и N лежат на сторонах FE и FD, причём \(FM/FE=FN/FD=1/3\). По теореме Фалеса \(MN\parallel ED\), а \(MN/ED=1/3\).

Следовательно, \(MN=\frac13\cdot 5=\frac53\).

Ответ: \(\frac53\).