Задание 1. Найдите производную функций:

Решение:

a) f(x) = 2x² + 3x - 6

Производная функции \( f(x) = 2x^2 + 3x - 6 \) находится по правилу дифференцирования степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \) и линейной функции \( (kx)' = k \).

\( f'(x) = (2x^2)' + (3x)' - (6)' \)

\( f'(x) = 2 \cdot 2x^{2-1} + 3 - 0 \)

\( f'(x) = 4x + 3 \)

б) f(x) = (2x+1)(x-1)

Сначала раскроем скобки:

\( f(x) = 2x(x-1) + 1(x-1) = 2x^2 - 2x + x - 1 = 2x^2 - x - 1 \)

Теперь найдём производную:

\( f'(x) = (2x^2)' - (x)' - (1)' \)

\( f'(x) = 2 \cdot 2x - 1 - 0 \)

\( f'(x) = 4x - 1 \)

в) f(x) = \(\frac{x^2}{2}\) + 5x

Производная функции:

\( f'(x) = (\frac{x^2}{2})' + (5x)' \)

\( f'(x) = \frac{1}{2} (x^2)' + 5 \)

\( f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x + 5 \)

\( f'(x) = x + 5 \)

Ответ: а) \( f'(x) = 4x + 3 \); б) \( f'(x) = 4x - 1 \); в) \( f'(x) = x + 5 \).