Задание 5. Решите неравенство:

Решение:

Неравенства вида \( (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \le 0 \) решаются разложением квадратных трёхчленов на множители и методом интервалов.

1. \( (x^2+2x-15)(x^2-4x+3) \le 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2+2x-15 = (x+5)(x-3) \), \( x^2-4x+3 = (x-1)(x-3) \). Получаем: \( (x+5)(x-3)^2(x-1) \le 0 \). Корни: \( x=-5 \), \( x=1 \), \( x=3 \) (кратности 2). Метод интервалов: \( x \in (-\infty; -5] \cup [1; 3] \cup [3; \infty) \). Объединяя, получаем \( x \in (-\infty; -5] \cup [1; \infty) \).
2. \( (x^2+3x-18)(x^2-5x+6) \le 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2+3x-18 = (x+6)(x-3) \), \( x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) \). Получаем: \( (x+6)(x-3)^2(x-2) \le 0 \). Корни: \( x=-6 \), \( x=2 \), \( x=3 \) (кратности 2). Метод интервалов: \( x \in (-\infty; -6] \cup [2; 3] \cup [3; \infty) \). Объединяя, получаем \( x \in (-\infty; -6] \cup [2; \infty) \).
3. \( (x^2-2x-15)(x^2-7x+10) \le 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2-2x-15 = (x-5)(x+3) \), \( x^2-7x+10 = (x-2)(x-5) \). Получаем: \( (x+3)(x-5)^2(x-2) \le 0 \). Корни: \( x=-3 \), \( x=2 \), \( x=5 \) (кратности 2). Метод интервалов: \( x \in (-\infty; -3] \cup [2; 5] \cup [5; \infty) \). Объединяя, получаем \( x \in (-\infty; -3] \cup [2; \infty) \).
4. \( (x^2+x-20)(x^2-7x+12) \le 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2+x-20 = (x+5)(x-4) \), \( x^2-7x+12 = (x-3)(x-4) \). Получаем: \( (x+5)(x-4)^2(x-3) \le 0 \). Корни: \( x=-5 \), \( x=3 \), \( x=4 \) (кратности 2). Метод интервалов: \( x \in (-\infty; -5] \cup [3; 4] \cup [4; \infty) \). Объединяя, получаем \( x \in (-\infty; -5] \cup [3; \infty) \).
5. \( (x^2-3x-10)(x^2-8x+15) \le 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2-3x-10 = (x-5)(x+2) \), \( x^2-8x+15 = (x-3)(x-5) \). Получаем: \( (x+2)(x-5)^2(x-3) \le 0 \). Корни: \( x=-2 \), \( x=3 \), \( x=5 \) (кратности 2). Метод интервалов: \( x \in (-\infty; -2] \cup [3; 5] \cup [5; \infty) \). Объединяя, получаем \( x \in (-\infty; -2] \cup [3; \infty) \).
6. \( (x^2-4x-21)(x^2-9x+14) \le 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2-4x-21 = (x-7)(x+3) \), \( x^2-9x+14 = (x-2)(x-7) \). Получаем: \( (x+3)(x-7)^2(x-2) \le 0 \). Корни: \( x=-3 \), \( x=2 \), \( x=7 \) (кратности 2). Метод интервалов: \( x \in (-\infty; -3] \cup [2; 7] \cup [7; \infty) \). Объединяя, получаем \( x \in (-\infty; -3] \cup [2; \infty) \).

Ответ: 1) \( (-\infty; -5] \cup [1; \infty) \); 2) \( (-\infty; -6] \cup [2; \infty) \); 3) \( (-\infty; -3] \cup [2; \infty) \); 4) \( (-\infty; -5] \cup [3; \infty) \); 5) \( (-\infty; -2] \cup [3; \infty) \); 6) \( (-\infty; -3] \cup [2; \infty) \).