Задание №1. Основания трапеции равны 8 и 18, а диагонали этой трапеции равны 14 и 16. Найдите, под каким углом пересекаются диагонали. В ответе укажите острый угол.

Обозначим через p и q горизонтальные составляющие диагоналей, направленных от концов большего основания к концам меньшего. Их разность равна сумме оснований: p − q = 18 + 8 = 26. Пусть h — высота трапеции.

По теореме Пифагора для диагоналей:

\(p^2+h^2=14^2=196,\quad q^2+h^2=16^2=256.\)

Вычитая первое равенство из второго, получаем \(q^2-p^2=60\), то есть \((q-p)(q+p)=60\). Поскольку \(q-p=-26\), имеем \(p+q=-\frac{30}{13}\).

Скалярное произведение векторов диагоналей равно \(pq+h^2\). Из найденных значений следует, что его отношение к произведению длин диагоналей равно \(-\frac12\). Значит, угол между направленными векторами равен \(120^\circ\), а острый угол между диагоналями — дополнительный к нему.

Ответ: 60°.