Задание №2. Две медианы треугольника равны 6√3 и 12 и пересекаются под углом 150°. Найдите стороны этого треугольника.

Обозначим векторы медиан, направленные от вершин к серединам противоположных сторон, через \(\vec u\) и \(\vec v\). Тогда \(|\vec u|=6\sqrt3\), \(|\vec v|=12\), а угол между ними равен \(150^\circ\). Пусть соответствующие стороны треугольника — \(AB=c\), \(AC=b\), \(BC=a\).

Если вершину \(A\) принять за начало координат, то из определения медиан получаем \(\overrightarrow{AB}=\frac23(\vec u-\vec v)\) и \(\overrightarrow{AC}=\frac23(2\vec u+\vec v)\). Также \(\overrightarrow{BC}=\frac23(\vec u+2\vec v)\).

Сначала найдём скалярное произведение медиан:

\(\vec u\cdot\vec v=6\sqrt3\cdot12\cdot\cos150^\circ=-108.\)

Тогда

\(AB^2=\frac49\bigl(|\vec u|^2+|\vec v|^2-2\vec u\cdot\vec v\bigr)=\frac49(108+144+216)=208,\quad AB=4\sqrt{13}.\)

\(AC^2=\frac49\bigl(4|\vec u|^2+|\vec v|^2+4\vec u\cdot\vec v\bigr)=\frac49(432+144-432)=64,\quad AC=8.\)

\(BC^2=\frac49\bigl(|\vec u|^2+4|\vec v|^2+4\vec u\cdot\vec v\bigr)=\frac49(108+576-432)=112,\quad BC=4\sqrt7.\)

Ответ: \(AB=4\sqrt{13}\), \(AC=8\), \(BC=4\sqrt7\).