Задание 1. Построить треугольник ABC с вершинами A(4; 0), B(0; −4), C(−4; 4). Найти координаты точек: 1) D — точки пересечения стороны CB с осью Ox; 2) K — точки пересечения стороны CA с осью Oy; 3) L — точки пересечения биссектрисы угла ACB со стороной AB.

1) Сторона CB проходит через C(−4; 4) и B(0; −4). Её угловой коэффициент равен \(\frac{-4-4}{0-(-4)}=-2\), поэтому уравнение стороны: \(y=-2x-4\). На оси Ox координата \(y=0\): \(0=-2x-4\), откуда \(x=-2\). Значит, D(−2; 0).

2) Сторона CA проходит через C(−4; 4) и A(4; 0). Её угловой коэффициент равен \(\frac{0-4}{4-(-4)}=-\frac12\), поэтому уравнение стороны: \(y=-\frac12x+2\). На оси Oy координата \(x=0\), значит, y=2 и K(0; 2).

3) По теореме о биссектрисе, если L лежит на AB, то \(\frac{AL}{LB}=\frac{AC}{CB}\). Длины сторон: \(AC=\sqrt{(-8)^2+4^2}=4\sqrt5\), \(CB=\sqrt{4^2+(-8)^2}=4\sqrt5\). Следовательно, AL=LB, то есть L — середина AB. Поэтому \(L\left(\frac{4+0}{2};\frac{0-4}{2}\right)=L(2;−2)\).

Ответ: D(−2; 0), K(0; 2), L(2; −2).