Задание 1 Представьте в виде натурального числа значение числового выражения: а) \(\frac{24}{\sqrt{7}-2} - 8\sqrt{7}\) ; б) \(\frac{15}{4+\sqrt{11}} + 3\sqrt{11}\).

Решение:

Задание 1

а) Для решения данного выражения, сначала приведем дробь к рациональному знаменателю:

\(\frac{24}{\sqrt{7}-2} = \frac{24(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)} = \frac{24(\sqrt{7}+2)}{7-4} = \frac{24(\sqrt{7}+2)}{3} = 8(\sqrt{7}+2) = 8\sqrt{7}+16\)

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

\(8\sqrt{7}+16 - 8\sqrt{7} = 16\)

б) Аналогично, сначала приведем дробь к рациональному знаменателю:

\(\frac{15}{4+\sqrt{11}} = \frac{15(4-\sqrt{11})}{(4+\sqrt{11})(4-\sqrt{11})} = \frac{15(4-\sqrt{11})}{16-11} = \frac{15(4-\sqrt{11})}{5} = 3(4-\sqrt{11}) = 12 - 3\sqrt{11}\)

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

\(12 - 3\sqrt{11} + 3\sqrt{11} = 12\)

Ответ: а) 16; б) 12.