Задание 2 Найдите значение выражения: а) \(\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}\); б) \(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\)

Решение:

Задание 2

а) Чтобы упростить выражение под корнем, представим его в виде квадрата суммы или разности:

\(3 - 2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2}-1)^2\)

Теперь извлечем корень:

\(\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = |\sqrt{2}-1|\)

Так как \(\sqrt{2} > 1\), то \(\sqrt{2}-1 > 0\), следовательно:

\(|\sqrt{2}-1| = \sqrt{2}-1\)

б) Аналогично, представим выражение под корнем в виде квадрата суммы:

\(7 + 4\sqrt{3} = 7 + 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4 + 2 \cdot 2\sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2 \cdot 2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2\)

Теперь извлечем корень:

\(\sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}|\)

Так как \(2+\sqrt{3} > 0\), то:

\(|2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3}\)

Ответ: а) \(\sqrt{2}-1\); б) \(2+\sqrt{3}\).