Задание 1. Угол между диагоналями прямоугольника равен 60°, а меньшая сторона прямоугольника равна 10 см. Найдите диагональ прямоугольника.

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Угол между диагоналями равен 60°, то есть \( \angle AOB = 60^{\circ} \).

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: \( AO = BO = CO = DO \).

Рассмотрим треугольник AOB. Так как \( AO = BO \), то он равнобедренный. Углы при основании равны:

\( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).

Таким образом, треугольник AOB равносторонний, и \( AO = BO = AB \).

По условию, меньшая сторона прямоугольника равна 10 см. В данном случае, меньшей стороной является AB, так как угол прилежащий к ней (\( \angle AOB = 60^{\circ} \)) меньше, чем угол между другими диагоналями (\( \angle BOC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \)).

Значит, \( AB = 10 \) см.

Так как треугольник AOB равносторонний, то \( AO = BO = AB = 10 \) см.

Диагональ прямоугольника AC = AO + OC. Так как \( AO = CO \), то \( AC = 2 AO \).

\( AC = 2 10 \text{ см} = 20 \text{ см} \).

Ответ: Диагональ прямоугольника равна 20 см.