Задание 2. Докажите, что если диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из его сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Доказательство:

Пусть дан параллелограмм ABCD. Его диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Предположим, что диагонали образуют равные углы с одной из сторон, например, со стороной AB. Это значит, что \( \angle BAC = \angle ABD \).

В параллелограмме ABCD стороны AB и CD параллельны, а AC — секущая. Следовательно, \( \angle BAC = \angle ACD \) (как накрест лежащие углы).

Также стороны AB и CD параллельны, а BD — секущая. Следовательно, \( \angle BAC = \angle BDC \) (как накрест лежащие углы).

В параллелограмме стороны AD и BC параллельны, а BD — секущая. Следовательно, \( \angle ABD = \angle BDC \) (как накрест лежащие углы).

Теперь рассмотрим наши условия:

1. \( \angle BAC = \angle ABD \) (по условию).
2. \( \angle BAC = \angle ACD \) (накрест лежащие).
3. \( \angle ABD = \angle BDC \) (накрест лежащие).

Из (1) и (2) следует, что \( \angle BAC = \angle ACD \).

Из (1) и (3) следует, что \( \angle BAC = \angle BDC \).

Рассмотрим треугольники AOB и DOC:

• \( AO = OC \) и \( BO = OD \) (диагонали точкой пересечения делятся пополам).
• \( \angle AOB = \angle DOC \) (вертикальные углы).
• Следовательно, \( \triangle AOB = \triangle DOC \) по первому признаку равенства треугольников.

Теперь рассмотрим треугольники BOC и DOA:

• \( BO = OD \) и \( CO = OA \).
• \( \angle BOC = \angle DOA \) (вертикальные углы).
• Следовательно, \( \triangle BOC = \triangle DOA \) по первому признаку равенства треугольников.

Поскольку \( AO = OC \) и \( BO = OD \), а \( \angle BAC = \angle ABD \), то рассмотрим треугольник ABO. Так как \( \angle BAC = \angle ABD \), то \( AO = BO \) (углы при основании равны).

Если \( AO = BO \), то \( \triangle AOB \) — равнобедренный. Так как \( AO = OC \), то \( BO = OC \).

Рассмотрим \( \triangle BOC \). Так как \( BO = OC \), то \( \triangle BOC \) — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle OBC = \angle OCB \).

В параллелограмме \( \angle ABC = \angle ABO + \angle OBC \) и \( \angle BCD = \angle OCB + \angle OCD \).

Так как \( \angle BAC = \angle ABD \) и \( AB \parallel CD \), то \( \angle BAC = \angle ACD \) (накрест лежащие). Значит, \( \angle ABD = \angle ACD \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle DCB \).

• \( AB = DC \) (противоположные стороны параллелограмма).
• \( BC = CB \) (общая сторона).
• \( \angle ABC = \angle DCB \).

Если \( AO = BO \), то \( AC = BD \) (так как \( AC = 2AO \) и \( BD = 2BO \)).

Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.