Задание №1. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AD, а F делит сторону AB в отношении 1 : 2. Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=\vec a\) и \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). Выразите векторы \(\overrightarrow{FD}\) и \(\overrightarrow{EC}\) через \(\vec a\) и \(\vec b\).

Так как \(AF:FB=1:2\), то точка F делит отрезок AB на три равные части:

\[\overrightarrow{AF}=\frac13\vec a.\]

Тогда

\[\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AD}=-\frac13\vec a+\vec b.\]

Поскольку E — середина AD,

\[\overrightarrow{AE}=\frac12\vec b.\]

В параллелограмме \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\), поэтому

\[\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}=-\frac12\vec b+\vec a+\vec b=\vec a+\frac12\vec b.\]

Ответ: \(\overrightarrow{FD}=-\frac13\vec a+\vec b\); \(\overrightarrow{EC}=\vec a+\frac12\vec b\).