ЗАДАНИЕ 10 В окружности проведена хорда длиной 14. Оказалось, что точка, делящая её в отношении 3: 4, удалена от центра на расстояние 3. Найдите радиус окружности.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Пусть хорда AB имеет длину 14. Точка C делит хорду AB в отношении 3:4.
2. Шаг 2: Длина отрезков AC и CB: AC = (3/7) * 14 = 6, CB = (4/7) * 14 = 8.
3. Шаг 3: Пусть O — центр окружности, а OC = 3 — расстояние от центра до точки C.
4. Шаг 4: Проведем радиус OA (или OB). Треугольник OAC (или OBC) является прямоугольным, если OC перпендикулярна AB, но это не всегда так.
5. Шаг 5: Воспользуемся теоремой о произведениях отрезков хорд. Если две хорды пересекаются в точке C, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. В данном случае, если через точку C провести диаметр, то произведение отрезков будет равно AC * CB = 6 * 8 = 48.
6. Шаг 6: Пусть радиус окружности равен R. Тогда длина диаметра равна 2R. Точка C делит диаметр на отрезки (R-3) и (R+3) (предполагая, что C находится между центром и одним из концов хорды, и расстояние от центра до C равно 3).
7. Шаг 7: Приравниваем произведения отрезков: \( (R-3)(R+3) = 6 imes 8 \).
8. Шаг 8: Решаем уравнение: \( R^2 - 9 = 48 \) => \( R^2 = 48 + 9 \) => \( R^2 = 57 \) => \( R = √{57} \).

Ответ: √{57}