ЗАДАНИЕ 11 Отношение катетов прямоугольного треугольника равно 4: 7. В каком отношении высота, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°. Отношение катетов AC : BC = 4 : 7. Обозначим AC = 4x, BC = 7x.
2. Шаг 2: Проведем высоту CD из вершины C к гипотенузе AB. Высота делит треугольник ABC на два подобных прямоугольных треугольника: ADC и BDC.
3. Шаг 3: Оба эти треугольника подобны исходному треугольнику ABC.
4. Шаг 4: Рассмотрим подобие треугольников ADC и BDC. Отношение катетов в треугольнике ADC равно AD : CD. Отношение катетов в треугольнике BDC равно CD : BD.
5. Шаг 5: Из подобия треугольников ADC и ABC следует: AC / AB = AD / AC. => AD = AC^2 / AB.
6. Шаг 6: Из подобия треугольников BDC и ABC следует: BC / AB = BD / BC. => BD = BC^2 / AB.
7. Шаг 7: Теперь найдем отношение, в котором высота делит гипотенузу, то есть отношение AD : BD.
8. Шаг 8: \( rac{AD}{BD} = rac{AC^2 / AB}{BC^2 / AB} = rac{AC^2}{BC^2} \).
9. Шаг 9: Подставляем значения катетов: \( rac{AD}{BD} = rac{(4x)^2}{(7x)^2} = rac{16x^2}{49x^2} = rac{16}{49} \).

Ответ: 16 : 49