Задание 1 1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ - перпендикуляр, опy- щенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отре- зок ВС = АВ. Докажите, что точка с лежит на окружности. 2) Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окруж- ности в этой точке. 3) Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке.

Задание 1

1) Доказательство:

• Так как OB - перпендикуляр к прямой, проходящей через А, то OB является радиусом, перпендикулярным касательной, если бы прямая была касательной.
• Однако, прямая не касается окружности, значит, OB не перпендикулярен прямой в точке А.
• По условию, OB перпендикулярен прямой, проходящей через А. Следовательно, OB является радиусом, и точка А лежит на окружности.
• На продолжении отрезка AB отложен отрезок BC = AB. Это значит, что точка B является серединой отрезка AC.
• Рассмотрим треугольник AOC. OB - медиана (так как B - середина AC) и высота (так как OB перпендикулярен AC).
• Треугольник AOC является равнобедренным с OA = OC.
• Так как OA - радиус окружности, то OC также является радиусом. Следовательно, точка C лежит на окружности.

2) Доказательство:

• По определению, касательная к окружности - это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку.
• Если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то по определению она является касательной к окружности в этой точке.

3) Доказательство:

• Пусть две окружности имеют только одну общую точку P.
• Если окружности имеют более одной общей точки, то они пересекаются в двух точках.
• Если окружности не имеют общих точек, то одна окружность находится внутри другой или они находятся вне друг друга.
• Следовательно, если окружности имеют ровно одну общую точку, то эта точка является точкой касания.