Задание 2 1) Из одной точки проведены две касательные к окружности. Докажите, что отрезки касательных МР и МQ равны. 2) Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.

Задание 2

1) Доказательство:

• Пусть точка M - внешняя точка, из которой проведены касательные MP и MQ к окружности с центром O.
• Рассмотрим треугольники MPO и MQO.
• OP = OQ (радиусы окружности).
• MO - общая гипотенуза.
• Углы MPO и MQO равны 90 градусов, так как радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным.
• По теореме Пифагора:
• $$MP^2 = MO^2 - OP^2$$
• $$MQ^2 = MO^2 - OQ^2$$
• Так как OP = OQ, то $$MP^2 = MQ^2$$, следовательно, MP = MQ.
• Треугольники MPO и MQO являются прямоугольными и имеют равные катеты (радиусы) и общую гипотенузу, следовательно, они равны по гипотенузе и катету.
• Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон MP = MQ.

2) Доказательство:

• Пусть дана точка M.
• Если точка M находится вне окружности, то из нее можно провести две касательные (как доказано в пункте 1).
• Если точка M находится на окружности, то через нее можно провести только одну касательную (перпендикулярную радиусу, проведенному в эту точку).
• Если точка M находится внутри окружности, то любая прямая, проходящая через нее, будет пересекать окружность в двух точках (секущая), а не касаться ее.
• Следовательно, через одну точку не может проходить более двух касательных к окружности.