Задание 13. Докажите, что неравенство верно при любом значении переменной: 1) (2x + 1)(x + 3) > x(2x + 7); 2) 6a + 2(a − 5) < 8a − 7; 3) 9 + 2n(8n − 4) > (4n − 1)²; 4) (y + 2)(y − 2) > y² − 5; 5) m² − 6m ≤ (3m − 1)².

Докажем каждое неравенство преобразованием обеих частей.

1. \((2x+1)(x+3) > x(2x+7)\).

   Раскроем скобки:

   \(2x^2+7x+3 > 2x^2+7x\).

   Вычтем \(2x^2+7x\) из обеих частей:

   \(3 > 0\).

   Неравенство верно при любом значении \(x\).

2. \(6a+2(a-5) < 8a-7\).

   Упростим левую часть:

   \(6a+2a-10 < 8a-7\),

   \(8a-10 < 8a-7\).

   Вычтем \(8a\) из обеих частей:

   \(-10 < -7\).

   Неравенство верно при любом значении \(a\).

3. \(9+2n(8n-4) > (4n-1)^2\).

   Раскроем скобки:

   \(9+16n^2-8n > 16n^2-8n+1\).

   Сократим одинаковые слагаемые:

   \(9 > 1\).

   Неравенство верно при любом значении \(n\).

4. \((y+2)(y-2) > y^2-5\).

   По формуле разности квадратов:

   \(y^2-4 > y^2-5\).

   Вычтем \(y^2\) из обеих частей:

   \(-4 > -5\).

   Неравенство верно при любом значении \(y\).

5. \(m^2-6m \le (3m-1)^2\).

   Раскроем квадрат:

   \(m^2-6m \le 9m^2-6m+1\).

   Перенесём левую часть вправо:

   \(0 \le 8m^2+1\).

   Так как \(m^2 \ge 0\), то \(8m^2+1 > 0\). Следовательно, неравенство верно при любом значении \(m\).

Ответ: все пять неравенств верны при любых значениях соответствующих переменных.