Задание 14. ABCD — ромб. Найдите углы α и β, используя данные рисунка: 5) ∠BAC = 40°; 6) ∠A = 70°, ∠C = 15°; 7) ∠B = 112°; 8) внешний угол при D равен 35°; 9) внешний угол при A равен 80°; 10) угол между BK и BD равен 25°, BK ⟂ AD; 11) AH = BH, BH ⟂ AD; 12) AH = HD, BH ⟂ AD.

5) Диагональ ромба делит углы пополам, поэтому ∠A = 2 · 40° = 80°. Противоположный угол C тоже равен 80°, а соседние углы B и D равны 100°. Диагональ BD делит их пополам: α = 50°, β = 50°.

6) Данные противоречат условию: в ромбе противоположные углы равны, а на рисунке указаны ∠A = 70° и ∠C = 15°. Поэтому однозначно определить α и β по этим данным нельзя; проверьте значение одного из углов.

7) Соседние углы ромба в сумме дают 180°, значит ∠A = 180° − 112° = 68°. Диагональ AC делит угол A пополам, поэтому α = β = 34°.

8) Внутренний угол D смежен с внешним: ∠D = 180° − 35° = 145°. Противоположный угол B равен 145°, а соседние углы A и C равны 35°. Следовательно, α = 35°, β = 145°.

9) Угол 80° на рисунке вертикален внутреннему углу A, поэтому ∠A = 80°. Противоположный угол C равен 80°, а ∠B = 180° − 80° = 100°. Значит, α = 100°, β = 80°.

10) В треугольнике BKH угол K прямой, а угол при B равен 25°, поэтому угол BHK равен 180° − 90° − 25° = 65°. Так как K лежит на AD, это угол α. Тогда ∠D = 2 · 65° = 130°, а соседний угол C равен 50°. Диагональ ромба делит угол C пополам: β = 25°. Итак, α = 65°, β = 25°.

11) Треугольник ABH прямоугольный, причём AH = BH. Поэтому его острые углы равны 45°. Диагональ AC делит угол A пополам, откуда ∠A = 90° и α = 45°. Соседний угол D равен 90°, а диагональ BD делит его пополам: β = 45°.

12) Поскольку AH = HD и BH ⟂ AD, прямая BH — серединный перпендикуляр к AD, значит BA = BD. В треугольнике ABD углы при A и D равны; но по свойству ромба ∠A = ∠D. Из этих данных можно заключить только, что ∠ABD = 180° − 2α, а диагональ BD делит угол B пополам. Следовательно, β = (180° − 2α)/2 = 90° − α. Численные значения α и β не определяются: не задана величина угла или дополнительное отношение.