Задание 15. Измените один из коэффициентов квадратного трёхчлена 25a² + 20ab + 16b² так, чтобы его можно было представить в виде квадрата двучлена. Сколько решений имеет задача?

Для выражения \(Aa^2+20ab+16b^2\) условие квадрата двучлена имеет вид \(20^2=4\cdot A\cdot16\). Отсюда \(A=\frac{400}{64}=\frac{25}{4}\).

Получаем \(\frac{25}{4}a^2+20ab+16b^2=\left(\frac52a+4b\right)^2\).

Если изменять коэффициент при \(ab\), то \(B^2=4\cdot25\cdot16=1600\), поэтому \(B=40\) или \(B=-40\): \(25a^2+40ab+16b^2=(5a+4b)^2\), \(25a^2-40ab+16b^2=(5a-4b)^2\).

Если изменять коэффициент при \(b^2\), то \(20^2=4\cdot25\cdot C\), поэтому \(C=4\): \(25a^2+20ab+4b^2=(5a+2b)^2\).

Ответ: 4 решения.