Задание 15. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды. Запишите полное решение.

Решение:

Дано:

• Правильная четырехугольная пирамида.
• Сторона основания \( a = 6 \) см.
• Угол наклона бокового ребра к плоскости основания \( \alpha = 45^{\circ} \).

Найти:

• Объем пирамиды \( V \).

1. Находим площадь основания:

Основание пирамиды — квадрат. Площадь квадрата вычисляется по формуле \( S_{осн} = a^2 \).

\[ S_{осн} = 6^2 = 36 \text{ см}^2 \]

2. Находим высоту пирамиды:

В правильной четырехугольной пирамиде высота проходит через центр основания. Опустим высоту \( h \) из вершины пирамиды \( S \) на центр основания \( O \). Боковое ребро \( SC \) наклонено к плоскости основания под углом \( 45^{\circ} \). Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между боковым ребром и его проекцией на плоскость основания. Проекцией бокового ребра \( SC \) на плоскость основания является отрезок \( OC \), соединяющий центр основания с вершиной квадрата \( C \). Таким образом, \( \angle SCO = 45^{\circ} \).

Найдем длину \( OC \). \( OC \) — это половина диагонали основания. Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \).

\[ d = 6\sqrt{2} \text{ см} \]\[ OC = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle SOC \). Мы знаем \( OC \) и угол \( \angle SCO \). Используем тангенс угла:

\[ \text{tg}(\angle SCO) = \frac{SO}{OC} \]\[ \text{tg}(45^{\circ}) = \frac{h}{3\sqrt{2}} \]

Так как \( \text{tg}(45^{\circ}) = 1 \), получаем:

\[ 1 = \frac{h}{3\sqrt{2}} \]\[ h = 3\sqrt{2} \text{ см} \]

3. Находим объем пирамиды:

Объем пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \).

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 3\sqrt{2} \text{ см} \]\[ V = 12 \cdot 3\sqrt{2} \text{ см}^3 \]\[ V = 36\sqrt{2} \text{ см}^3 \]

Ответ: Объем пирамиды равен 36√2 см³.