[Задание 17.4] Диагональ АС ромба ABCD равна 60, a tg BCA = 0,4. Найдите площадь ромба.

Решение:

В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Также диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \).

Дано: \( AC = 60 \). Следовательно, \( AO = OC = 60 / 2 = 30 \).

\( \angle BCA \) — это половина угла \( \angle BCD \) ромба, так как \( BC \) — сторона, а \( AC \) и \( BD \) — диагонали. \( \angle BCA \) — это также угол в прямоугольном треугольнике \( BOC \).

В прямоугольном треугольнике \( BOC \): \( \angle BOC = 90^{\circ} \), \( OC = 30 \).

Дано: \( \text{tg} \angle BCA = 0.4 \).

В треугольнике \( BOC \): \( \text{tg} \angle BCA = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{OB}{OC} \).

\( \frac{OB}{30} = 0.4 \).

\( OB = 0.4 \cdot 30 = 12 \).

Так как \( O \) — середина диагонали \( BD \), то \( BD = 2 \cdot OB = 2 \cdot 12 = 24 \).

Площадь ромба можно найти по формуле: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали.

\( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 24 \).

\( S = 30 \cdot 24 = 720 \).

Ответ: 720.