[Задание 17.6] Диагональ равнобедренной трапеции образует с ее основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если ее основания равны 2 и 5.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция \( ABCD \) с основаниями \( AB = 2 \) и \( CD = 5 \).

Пусть \( AC \) — диагональ. Проведём высоту \( AH \) из вершины \( A \) на основание \( CD \).

Угол между диагональю и основанием равен 45°. Рассмотрим угол между большей диагональю \( AC \) и основанием \( CD \). \( \angle ACD = 45^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( AHC \), \( \angle AHC = 90^{\circ} \).

Мы знаем, что \( \angle ACD = 45^{\circ} \).

В треугольнике \( AHC \) сумма углов равна 180°: \( \angle HAC + \angle AHC + \angle ACH = 180^{\circ} \).

\( \angle HAC + 90^{\circ} + 45^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle HAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Таким образом, треугольник \( AHC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник, так как \( \angle HAC = \angle ACH = 45^{\circ} \).

Следовательно, \( AH = HC \).

\( HC \)

— это отрезок на большем основании \( CD \).

В равнобедренной трапеции \( ABCD \) с основаниями \( AB \) и \( CD \) (\( AB < CD \)), если провести высоту \( AH \) из \( A \) на \( CD \), то \( DH = \frac{CD - AB}{2} \).

\( DH = \frac{5 - 2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \).

Теперь рассмотрим отрезок \( HC \).

\( HC = CD - DH = 5 - 1.5 = 3.5 \).

Так как \( AH = HC \) (из равнобедренности \( \triangle AHC \)), то \( AH = 3.5 \).

Высота трапеции равна \( AH \).

Ответ: 3.5.