Задание 2 (18 баллов). Определите количество сторон правильного многоугольника, если его 1 внешний угол составляет 4 внутреннего угла.

Привет! Давай решим второе задание.

Для начала вспомним, что сумма внутреннего и внешнего угла правильного многоугольника равна 180°.

Пусть `\(\alpha\)` - внутренний угол, а `\(\beta\)` - внешний угол.

\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]

По условию задачи, внешний угол составляет 1/4 внутреннего угла:

\[ \beta = \frac{1}{4} \alpha \]

Теперь подставим это во второе уравнение:

\[ \alpha + \frac{1}{4} \alpha = 180^\circ \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{4\alpha + \alpha}{4} = 180^\circ \]

\[ \frac{5\alpha}{4} = 180^\circ \]

Найдем `\(\alpha\)`:

\[ \alpha = \frac{180^\circ \times 4}{5} \]

\[ \alpha = 36^\circ \times 4 \]

\[ \alpha = 144^\circ \]

Итак, внутренний угол равен 144°. Теперь найдем внешний угол:

\[ \beta = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ \]

Или, используя условие:

\[ \beta = \frac{1}{4} \times 144^\circ = 36^\circ \]

Теперь, зная внешний угол, мы можем найти количество сторон `n` по формуле:

\[ n = \frac{360^\circ}{\beta} \]

\[ n = \frac{360^\circ}{36^\circ} \]

\[ n = 10 \]

Получается, что у этого многоугольника 10 сторон.

Ответ: 10