Ответ:

  1. Выехать нам не удалось, потому что начался проливной дождь. У него сразу вспотели ладони. «Проливной ливень» — плеоназм, «ладони рук» — избыточное сочетание.
  2. Следует сначала посоветоваться с коллегами. Слово «коллеги» уже означает людей, работающих вместе.
  3. Прейскурант вывешен на витрине. Прейскурант — перечень цен.
  4. Гость попытался собрать осколки вазы. Осколок — уже обломок разбитого предмета.
  5. В заключении рассказчик сообщил ещё одну забавную историю. Тавтология: «в заключении — рассказчик рассказывал».
  6. Впереди идёт гонщик под номером пять. «Впереди лидирует» — смысловое дублирование.
  7. Между природой и человеком уже не существует различия. Слово «существенной» избыточно в данном контексте.
  8. Работа была выполнена небрежно. «Небрежно» и «неряшливо» здесь дублируют друг друга.
  9. Даже при неблагоприятных условиях растения продолжают развиваться. Устранено ненужное сочетание близких по смыслу слов «процесс развития».
  10. В прошлом году они окончили университет. Университетское образование уже является высшим, поэтому второе сообщение избыточно.
  11. Выступление было сумбурным, непродуманным, поэтому трудно было уловить его суть. «Главная суть» — плеоназм.
  12. Мы его видели и сбоку, и в фас. «Сбоку» и «в профиль» обозначают один и тот же ракурс; вероятное противопоставление — сбоку и спереди.
  13. Старые методы руководства были признаны неправильными. «Неправильными» и «ошибочными» здесь синонимичны.
  14. Обмен опытом был очень полезен. Слово «имеющимся» не добавляет необходимого смысла.
  15. Писатель показал, как боролась с врагами молодёжь. Слова «молодая» и «юная» повторяют значение слова «молодёжь».