Задание 2. Из точки С проведены касательные к окружности АС и СВ. Угол между касательными равен 60° и АВ=8. Найди АС.

Дано:

• Окружность с центром O.
• Из точки C проведены касательные CA и CB к окружности.
• A и B — точки касания.
• Угол между касательными ∠ACB = 60°.
• Отрезок, соединяющий точки касания, AB = 8.
• Нужно найти длину касательной AC.

Решение:

1. Свойство касательных: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Значит, AC = CB.
2. Треугольник ACB: Так как AC = CB, треугольник ACB является равнобедренным.
3. Углы равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°. ∠CAB = ∠CBA.
4. ∠ACB + ∠CAB + ∠CBA = 180°.
5. 60° + ∠CAB + ∠CBA = 180°.
6. ∠CAB + ∠CBA = 180° - 60° = 120°.
7. Так как ∠CAB = ∠CBA, то 2 * ∠CAB = 120°, следовательно ∠CAB = ∠CBA = 60°.
8. Вывод о треугольнике ACB: Поскольку все углы треугольника ACB равны 60°, то этот треугольник является равносторонним.
9. Равносторонний треугольник: В равностороннем треугольнике все стороны равны.
10. Следовательно, AC = CB = AB.
11. Нам дано, что AB = 8.
12. Значит, AC = 8.

Ответ: AC = 8