Задание 2. Мысленный эксперимент (геометрическая логика). 1. Задача о призме: представьте пятиугольную призму (в основаниях пятиугольники, сбоку прямоугольники). Сколько у неё вершин (V)? Сколько рёбер (E)? Сколько граней (F)? Чему равна сумма V − E + F? 2. Задача об «отрезанном» угле: у деревянного куба аккуратно отпилили одну вершину так, что образовалась плоская треугольная грань. Как изменилось количество вершин куба (на сколько)? Как изменилось количество граней? Изменится ли результат формулы V − E + F для такого куба?

1. Пятиугольная призма

1. В каждом из двух оснований по 5 вершин, поэтому V = 2 · 5 = 10.
2. В двух основаниях по 5 рёбер, а ещё 5 боковых рёбер соединяют соответствующие вершины: E = 5 + 5 + 5 = 15.
3. Граней 2 основания и 5 боковых: F = 2 + 5 = 7.
4. Подставляем значения: V − E + F = 10 − 15 + 7 = 2.

2. Куб со срезанной вершиной

1. Удаляется одна вершина, а на трёх рёбрах, сходившихся в ней, появляются три новые вершины. Всего вершин становится 8 − 1 + 3 = 10: число увеличивается на 2.
2. К шести прежним граням добавляется одна треугольная: число граней увеличивается на 1 и становится равным 7.
3. Три прежних ребра остаются укороченными, а срез образует три новых ребра. Поэтому рёбер становится 12 + 3 = 15.
4. Проверяем формулу: V − E + F = 10 − 15 + 7 = 2.

Ответ: у пятиугольной призмы V = 10, E = 15, F = 7, V − E + F = 2. После среза вершины куба вершин становится на 2 больше, граней — на 1 больше; формула по-прежнему даёт 2.