Задание 2. Окружность (О; г) касается сторон угла М. Определите длину отрезка ОМ, если г = 11 см, а градусная мера угла М составляет 60 градусов.

Решение:

Центр окружности, касающейся сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла. Пусть точка касания окружности со стороной угла будет К.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OKM \), где \( \angle OKM = 90^{\circ} \) (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).

Угол \( \angle OMK = \frac{1}{2} \angle M = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \), так как ОМ — биссектриса угла М.

В прямоугольном треугольнике \( \triangle OKM \) катет \( OK = r = 11 \) см лежит напротив угла \( 30^{\circ} \). Следовательно, гипотенуза \( OM \) равна удвоенному катету \( OK \).

\( OM = 2 \cdot OK = 2 \cdot 11 \) см = \( 22 \) см.

Ответ: 22 см.