Задание №2. В параллелограмме сторона равна 8, а диагонали равны 20 и 24. Найдите косинус острого угла между диагоналями.

Обозначим стороны параллелограмма векторами \(\vec u\) и \(\vec v\), где \(|\vec u|=8\). Диагонали задаются векторами \(\vec u+\vec v\) и \(\vec u-\vec v\).

1. Их скалярное произведение равно \((\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=|\vec u|^2-|\vec v|^2\).
2. По формуле параллелограмма \(|\vec u|^2+|\vec v|^2=(20^2+24^2)/2=488\). Следовательно, \(|\vec v|^2=488-8^2=424\), и разность квадратов сторон равна \(64-424=-360\).
3. Косинус острого угла берём по модулю скалярного произведения и делим на произведение диагоналей: \(\cos\alpha=|-360|/(20\cdot24)=3/4\).

Ответ: \(\cos\alpha=\frac34\).