Задание 2. Вычислите: a) \( \frac{4^{11} \cdot 4^7 \cdot 16}{4^{15} \cdot 4} \); б) \( \frac{0,2^{21} \cdot 0,2^{10}}{0,2^{11} \cdot 0,2^{18}} \)

Решение:

а) Вычисление выражения \( \frac{4^{11} \cdot 4^7 \cdot 16}{4^{15} \cdot 4} \):

1. Представим \( 16 \) как степень \( 4 \): \( 16 = 4^2 \).
2. Подставим в выражение: \( \frac{4^{11} \cdot 4^7 \cdot 4^2}{4^{15} \cdot 4^1} \).
3. Используем свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями ( \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) ): \( \frac{4^{11+7+2}}{4^{15+1}} = \frac{4^{20}}{4^{16}} \).
4. Используем свойство деления степеней с одинаковыми основаниями ( \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) ): \( 4^{20-16} = 4^4 \).
5. Вычислим значение: \( 4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256 \).

Ответ к а): 256

б) Вычисление выражения \( \frac{0,2^{21} \cdot 0,2^{10}}{0,2^{11} \cdot 0,2^{18}} \):

1. Используем свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями ( \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) ) в числителе и знаменателе: \( \frac{0,2^{21+10}}{0,2^{11+18}} = \frac{0,2^{31}}{0,2^{29}} \).
2. Используем свойство деления степеней с одинаковыми основаниями ( \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) ): \( 0,2^{31-29} = 0,2^2 \).
3. Вычислим значение: \( 0,2^2 = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \).

Ответ к б): 0,04