Задание 3*. Докажите свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями.

Доказательство свойства умножения степеней с одинаковыми основаниями

Свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями гласит: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

Формула: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), где \( a \neq 0 \).

Доказательство:

1. Рассмотрим произведение \( a^m \cdot a^n \).
2. По определению степени, \( a^m \) — это произведение \( m \) множителей, равных \( a \), а \( a^n \) — это произведение \( n \) множителей, равных \( a \).
3. Таким образом, \( a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ раз}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}} \).
4. Объединяя все множители, получаем произведение \( m + n \) множителей, равных \( a \).
5. По определению степени, это равно \( a^{m+n} \).

Следовательно, \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

Свойство доказано.