Задание 3 (30 баллов). В алюминиевый стакан наливают кипяток так, что стакан становится полным. Стакан имеет цилиндрическую форму, его высота 14 см, радиус основания 3 см, толщина стенок 4 мм. Вычислите, какая установится температура стакана, если изначально его температура была 20 °С. Удельная теплоёмкость алюминия \(c_a = 920 \frac{Дж}{кг \cdot °С}\), воды \(c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °С}\). Плотность алюминия \(\rho_a = 2700 \frac{кг}{м^3}\), воды \(\rho_в = 1000 \frac{кг}{м^3}\). Потерями теплоты пренебречь.

Для решения этой задачи, мы будем использовать закон сохранения энергии. Тепло, отданное кипятком, будет равно теплу, полученному стаканом. 1. **Определим параметры стакана:** - Высота стакана \(h = 14\) см \(= 0.14\) м - Внешний радиус стакана \(R_2 = 3\) см \(= 0.03\) м - Толщина стенок стакана \(\Delta r = 4\) мм \(= 0.004\) м - Внутренний радиус стакана \(R_1 = R_2 - \Delta r = 0.03 - 0.004 = 0.026\) м 2. **Найдем объем алюминия стакана \(V_a\):** Объем стакана = Объем внешнего цилиндра - Объем внутреннего цилиндра \(V_a = \pi R_2^2 h - \pi R_1^2 h = \pi h (R_2^2 - R_1^2)\) \(V_a = \pi \cdot 0.14 \cdot (0.03^2 - 0.026^2) \approx 0.0001053 м^3\) 3. **Найдем массу алюминия стакана \(m_a\):** \(m_a = \rho_a \cdot V_a\) \(m_a = 2700 \cdot 0.0001053 \approx 0.2843 кг\) 4. **Найдем объем воды в стакане \(V_в\):** \(V_в = \pi R_1^2 h\) \(V_в = \pi \cdot 0.026^2 \cdot 0.14 \approx 0.0002965 м^3\) 5. **Найдем массу воды в стакане \(m_в\):** \(m_в = \rho_в \cdot V_в\) \(m_в = 1000 \cdot 0.0002965 \approx 0.2965 кг\) 6. **Запишем уравнение теплового баланса:** Пусть \(T\) - установившаяся температура стакана и воды, \(T_a = 20°C\) - начальная температура стакана, \(T_в = 100°C\) - начальная температура кипятка \(m_a \cdot c_a \cdot (T - T_a) = m_в \cdot c_в \cdot (T_в - T)\) \(0.2843 \cdot 920 \cdot (T - 20) = 0.2965 \cdot 4200 \cdot (100 - T)\) \(261.556 (T - 20) = 1245.3 (100 - T)\) \(261.556T - 5231.12 = 124530 - 1245.3T\) \(261.556T + 1245.3T = 124530 + 5231.12\) \(1506.856T = 129761.12\) \(T = \frac{129761.12}{1506.856} \approx 86.11°C\) **Ответ:** Установившаяся температура стакана будет приблизительно 86.11 °C.