Задание 3. Докажи, что в параллелограмме диагонали пересекаются, и точка пересечения делит диагонали пополам. Используй чертёж задания 1.

Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке M. Противоположные стороны параллелограмма параллельны: AB ∥ CD.

Рассмотрим треугольники ABM и CDM. Углы ABM и CDM равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. Углы BAM и DCM также равны как накрест лежащие при тех же параллельных прямых и секущей AC. Стороны AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма.

Следовательно, треугольники ABM и CDM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AM = MC и BM = MD: точка M делит каждую диагональ пополам.

Вывод: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.