Задание 3. Докажи, что в прямоугольном треугольнике медиана равна половине его гипотенузы. Используй чертёж задания 1.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC прямой угол C, а AB — гипотенуза. M — середина AB, CM — медиана к гипотенузе. Для применения построения задания 1 обозначим точку на продолжении CM через D так, что BM = MD.

1. Так как M — середина AB и BM = MD, точка M является серединой и AB, и CD. Четырёхугольник ACBD имеет диагонали AB и CD, которые делятся точкой пересечения пополам, поэтому ACBD — параллелограмм.
2. У него угол C прямой, следовательно, параллелограмм ACBD — прямоугольник.
3. Диагонали прямоугольника равны, поэтому AB = CD. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, значит, AM = BM = CM = DM.
4. Поскольку M — середина AB, AB = 2AM. А CM = AM, поэтому CM = AB/2.

Ответ: медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.