Задание 3*. Докажите, что если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть в четырёхугольнике \(ABCD\) выполнено \(AB = CD\) и \(BC = AD\). Проведём диагональ \(AC\).

1. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\). Имеем \(AB = CD\), \(BC = DA\), а \(AC\) — общая сторона.
2. Треугольники равны по трём сторонам.
3. Из равенства треугольников следует, что \(\angle BAC = \angle DCA\) и \(\angle BCA = \angle DAC\). Это накрест лежащие углы при секущей \(AC\), поэтому \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD\).
4. Обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, следовательно, по определению он является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.