Задание 3*. Докажите, что в параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.

Пусть ABCD — параллелограмм. Рассмотрим углы A и B, прилежащие к стороне AB, и обозначим их биссектрисы.

1. Соседние углы параллелограмма supplementary: ∠A + ∠B = 180°.
2. Пусть биссектрисы углов A и B пересекаются в точке E. В треугольнике AEB углы при вершинах A и B равны ∠A/2 и ∠B/2.
3. Тогда ∠AEB = 180° − (∠A/2 + ∠B/2) = 180° − (∠A + ∠B)/2 = 180° − 90° = 90°.

Следовательно, биссектрисы перпендикулярны. Аналогичное рассуждение применимо к любой паре углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма.