Задание №3. Из вершины тупого угла параллелограмма на две его противоположные стороны опустили высоты. Оказалось, что образованный этими высотами треугольник составляет одну четверть от площади всего параллелограмма. Найдите острый угол параллелограмма.

Обозначим острый угол параллелограмма через \(\theta\), а длины его соседних сторон — через \(a\) и \(b\). Тогда тупой угол равен \(180^\circ-\theta\), и синусы этих углов одинаковы.

Длины высот, опущенных из вершины тупого угла на противоположные стороны, равны \(a\sin\theta\) и \(b\sin\theta\). Угол между высотами равен острому углу \(\theta\). Поэтому площадь образованного ими треугольника равна:

\(S_{\triangle}=\frac12\cdot a\sin\theta\cdot b\sin\theta\cdot\sin\theta=\frac12 ab\sin^3\theta\).

Площадь параллелограмма равна \(S_{п}=ab\sin\theta\). По условию:

\(\frac{S_{\triangle}}{S_{п}}=\frac12\sin^2\theta=\frac14\).

Следовательно, \(\sin^2\theta=\frac12\). Поскольку \(\theta\) — острый угол, \(\theta=45^\circ\).

Ответ: 45°.