Задание 3. Можно ли, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя ни по одной линии дважды, начертить «домик» (квадрат с треугольной крышей и одной диагональю внутри квадрата)? Ответ обоснуйте.

Здесь результат зависит от того, какая диагональ проведена: условие не уточняет её концы. Рассмотрим квадрат с крышей над его верхней стороной.

Если диагональ соединяет верхние вершины квадрата, степени четырёх углов равны 4, 4, 2, 2. Все степени чётные, поэтому существует эйлеров цикл: фигуру можно начертить одним росчерком, не повторяя линий.

Если диагональ соединяет нижние вершины, степени всех четырёх углов нечётные (3, 3, 3, 3). Для начертания одним росчерком граф должен иметь ровно 0 или 2 вершины нечётной степени, поэтому в этом случае начертить фигуру нельзя.

Ответ: можно, если диагональ соединяет верхние вершины квадрата; если она соединяет нижние — нельзя.