Задание №3. На сторонах BC и AD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и N так, что ∠AMC=∠CNA. 1) Является ли четырёхугольник AMCN параллелограммом? 2) Найдите длину отрезка AN, если BC=42 и BM=13.

1) Да.

Так как \(M\) лежит на стороне \(BC\), а \(N\) — на стороне \(AD\), то \(MC\parallel AN\). По условию \(\angle AMC=\angle CNA\). Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых \(AM\) и \(CN\), поэтому \(AM\parallel CN\).

В четырёхугольнике AMCN противоположные стороны попарно параллельны: \(MC\parallel AN\) и \(AM\parallel CN\). Следовательно, AMCN — параллелограмм.

2) Найдём сторону \(MC\):

\(MC=BC-BM=42-13=29\).

В параллелограмме AMCN противоположные стороны равны, поэтому \(AN=MC=29\).

Ответ: 1) да; 2) \(AN=29\).