Задание 3. По данным рисунка постройте: а) точку пересечения MN с плоскостью AA₁B₁; б) точку пересечения прямой A₁N с плоскостью CDD₁; в) точку пересечения MN с плоскостью CC₁D₁; г) точку пересечения прямой C₁M с плоскостью ABB₁; д) линию пересечения плоскости C₁MN с плоскостью BB₁C₁; е) линию пересечения плоскости A₁MN с плоскостью DAA₁.

Считаем, как показано на рисунке, что M лежит на ребре BC, а N — на ребре AD. Для построений обозначим новые точки P, Q, R и S.

1. Пусть P = MN ∩ AB. Поскольку MN лежит в плоскости основания ABCD, а плоскость AA₁B₁ пересекает плоскость основания по прямой AB, искомая точка — P.
2. Пусть Q = A₁N ∩ DD₁. Плоскость CDD₁ содержит прямую DD₁, поэтому искомая точка — Q. Если пересечение находится на продолжении ребра, Q отмечают на продолжении.
3. Пусть R = MN ∩ CD. Плоскость CC₁D₁ пересекает плоскость основания по прямой CD, поэтому искомая точка — R.
4. Пусть S = C₁M ∩ BB₁. Плоскость ABB₁ содержит прямую BB₁, значит искомая точка — S; при необходимости прямые продолжают.
5. Плоскости C₁MN и BB₁C₁ имеют общие точки C₁ и M: M лежит на BC, принадлежащей плоскости BB₁C₁. Поэтому их линия пересечения — прямая C₁M.
6. Плоскости A₁MN и DAA₁ имеют общие точки A₁ и N: N лежит на AD, принадлежащей плоскости DAA₁. Поэтому их линия пересечения — прямая A₁N.

Ответ: а) P = MN ∩ AB; б) Q = A₁N ∩ DD₁; в) R = MN ∩ CD; г) S = C₁M ∩ BB₁; д) C₁M; е) A₁N.