Задание 3*. Представьте в виде дроби: \(\frac{1}{(x+3)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+5)}+\frac{1}{(x+5)(x+6)}+\frac{1}{(x+6)(x+7)}+\frac{1}{(x+7)(x+8)}\).

Question

Вопрос:

Фото задания

Задание 3*. Представьте в виде дроби: \(\frac{1}{(x+3)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+5)}+\frac{1}{(x+5)(x+6)}+\frac{1}{(x+6)(x+7)}+\frac{1}{(x+7)(x+8)}\).

Accepted Answer

Используем тождество \(\frac{1}{a(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\).

Тогда

\(\frac{1}{(x+3)(x+4)}=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\), и аналогично для остальных слагаемых.

\(\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\right)+\left(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}\right)+\left(\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}\right)+\left(\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}\right)+\left(\frac{1}{x+7}-\frac{1}{x+8}\right)=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+8}.\)

Приводим оставшиеся дроби к общему знаменателю:

\(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+8}=\frac{(x+8)-(x+3)}{(x+3)(x+8)}=\frac{5}{(x+3)(x+8)}.\)

Ответ: \(\frac{5}{(x+3)(x+8)}\), где \(x\ne-3,-4,-5,-6,-7,-8\).