Задание 3*. При каких натуральных значениях \(a\) дробь \(\frac{5a^2+3a+9}{a}\) принимает натуральные значения?

Разделим каждый член числителя на \(a\): \(\frac{5a^2+3a+9}{a}=5a+3+\frac{9}{a}\). Для натурального \(a\) первые два слагаемых натуральны, поэтому всё выражение будет натуральным тогда и только тогда, когда \(\frac{9}{a}\) — целое число.

Следовательно, \(a\) должно быть натуральным делителем числа 9. Такие делители: 1, 3 и 9.

Проверка: при \(a=1\) значение равно 17; при \(a=3\) — 21; при \(a=9\) — 51.

Ответ: \(a=1,3,9\).