Задание 3. Сечение шара плоскостью, удаленной от его центра на расстоянии 6 см имеет площадь 64 л см². Вычислите объем шара.

Решение:

Площадь сечения шара плоскостью, удаленной от центра на расстояние \( d \), равна \( S_{сеч} = \pi R_{сеч}^2 \). Площадь круга, полученного в сечении, равна \( 64\pi \text{ см}^2 \).

Найдем радиус сечения \( R_{сеч} \):

\[ \pi R_{сеч}^2 = 64\pi \text{ см}^2 \] \( R_{сеч}^2 = 64 \text{ см}^2 \) \( R_{сеч} = 8 \text{ см} \)

Радиус шара \( R \) найдем по теореме Пифагора, используя расстояние от центра шара до плоскости сечения \( d = 6 \text{ см} \) и радиус сечения \( R_{сеч} = 8 \text{ см} \):

\[ R^2 = d^2 + R_{сеч}^2 = (6 \text{ см})^2 + (8 \text{ см})^2 = 36 \text{ см}^2 + 64 \text{ см}^2 = 100 \text{ см}^2 \] \( R = 10 \text{ см} \)

Объем шара вычисляется по формуле: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \).

\[ V = \frac{4}{3}\pi (10 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1000 \text{ см}^3 = \frac{4000}{3}\pi \text{ см}^3 \]