Задание 5. Жидкость, налитую в цилиндрический сосуд высотой 25 см и диаметром основания 4 см, перелили в конический сосуд диаметром 10 см. Найдите высоту этого конуса.

Решение:

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде равен объему цилиндра. Диаметр цилиндра \( d_{цил} = 4 \text{ см} \), значит, радиус \( r_{цил} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см} \). Высота цилиндра \( h_{цил} = 25 \text{ см} \).

Объем цилиндра:

\[ V_{цил} = \pi r_{цил}^2 h_{цил} = \pi (2 \text{ см})^2 \cdot 25 \text{ см} = \pi \cdot 4 \text{ см}^2 \cdot 25 \text{ см} = 100\pi \text{ см}^3 \]

Этот объем жидкости перелили в конический сосуд. Объем конуса равен объему цилиндра: \( V_{кон} = V_{цил} = 100\pi \text{ см}^3 \).

Диаметр конического сосуда \( d_{кон} = 10 \text{ см} \), значит, радиус \( r_{кон} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} \).

Объем конуса вычисляется по формуле: \( V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r_{кон}^2 h_{кон} \).

Найдем высоту конуса \( h_{кон} \):

\[ 100\pi \text{ см}^3 = \frac{1}{3}\pi (5 \text{ см})^2 h_{кон} \] \( 100\pi = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot h_{кон} \)

Сокращаем \( \pi \) и решаем относительно \( h_{кон} \):

\[ 100 = \frac{25}{3} h_{кон} \] \( h_{кон} = \frac{100 \cdot 3}{25} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см} \)