Задание №3. Стороны треугольника равны 6 и 12, а угол между ними равен 60°. Через центр вписанной окружности этого треугольника и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите её радиус.

Обозначим через A и C концы третьей стороны, а через B — вершину угла 60°. По теореме косинусов:

\(AC^2=6^2+12^2-2\cdot6\cdot12\cdot\cos60^\circ=108\), поэтому \(AC=6\sqrt3\).

Углы треугольника при концах стороны AC: угол A лежит напротив стороны 12, и \(\cos A=\dfrac{6^2+(6\sqrt3)^2-12^2}{2\cdot6\cdot6\sqrt3}=0\), значит, \(A=90^\circ\). Тогда \(C=30^\circ\).

Пусть I — центр вписанной окружности. Так как AI и CI — биссектрисы, в треугольнике AIC угол AIC равен \(90^\circ+\dfrac{B}{2}=120^\circ\). Искомая окружность описана около треугольника AIC. По формуле радиуса описанной окружности:

\(R=\dfrac{AC}{2\sin\angle AIC}=\dfrac{6\sqrt3}{2\sin120^\circ}=6\).

Ответ: 6.