ЗАДАНИЕ №3. Точка \(M\) делит диагональ \(AC\) параллелограмма \(ABCD\) в отношении \(AM:MC=1:3\). Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=\vec a\) и \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). Разложите вектор \(\overrightarrow{AM}\) по векторам \(\vec a\) и \(\vec b\).

В параллелограмме диагональ равна сумме двух сторон, выходящих из одной вершины: \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec a+\vec b\).

Из отношения \(AM:MC=1:3\) следует, что весь отрезок \(AC\) состоит из 4 равных частей, а \(\overrightarrow{AM}=\frac14\overrightarrow{AC}\).

Подставим разложение диагонали: \(\overrightarrow{AM}=\frac14(\vec a+\vec b)=\frac14\vec a+\frac14\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AM}=\frac14\vec a+\frac14\vec b\).