Задание 3. Точку X случайным образом бросают в правильный треугольник. Какова вероятность, что расстояние от точки X до центра данного треугольника окажется меньше, чем расстояние до его вершин? Выберите один из 4 вариантов ответа: 1) 2/3; 2) 1/5; 3) 1/3; 4) 1/4.

Пусть сторона правильного треугольника равна \(a\), а его центр — \(O\). В правильном треугольнике расстояние от центра до каждой вершины равно \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\). Условие задачи означает, что точка должна находиться внутри круга с центром \(O\) и радиусом \(R\).

Этот круг целиком содержит треугольник? Нет: он проходит через вершины, а его площадь больше площади треугольника. Поэтому для искомой вероятности нужно найти площадь пересечения круга и треугольника. Круг радиуса \(R\), описанный вокруг правильного треугольника, разбивает его на три равных сектора с углом \(120^\circ\); площадь каждого сектора внутри треугольника равна \(\frac{120}{360}\pi R^2\). Значит, площадь подходящей области равна \(\pi R^2\).

Площадь треугольника: \(S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\), а \(R^2=\frac{a^2}{3}\). Следовательно, \(P=\frac{\pi R^2}{S}=\frac{4\pi}{3\sqrt{3}}>1\), что невозможно для вероятности. Проверим геометрию: круг радиуса \(R\), описанный вокруг треугольника, содержит весь треугольник, а его пересечение с треугольником — весь треугольник. Поэтому любая точка треугольника удалена от центра не дальше, чем вершины; строго меньше — кроме трёх вершин, имеющих нулевую площадь.

Таким образом, искомая вероятность равна 1. Среди приведённых вариантов такого ответа нет.

Ответ: ни один из вариантов; вероятность равна 1.