Задание 3. В ΔABC медиана BM в два раза меньше стороны AB и образует с ней угол 40°. Чему равен ∠ABC?

Обозначим длину BM за x. Тогда AB = 2x, а ∠ABM = 40°. Поскольку BM — медиана, M — середина AC, то есть AM = MC.

Продлим BM за M до точки D так, чтобы MD = BM. Тогда M — середина и BD, и AC. Значит, четырёхугольник ABCD — параллелограмм, поэтому BC параллельна AD.

В треугольнике ABD стороны AB = 2x и BD = 2x, значит, он равнобедренный. Так как D лежит на продолжении BM, угол ABD равен 180° − 40° = 140°. Тогда углы BAD и ADB равны (180° − 140°) : 2 = 20°.

Из параллельности BC и AD следует, что внутренние односторонние углы BAD и ABC в сумме составляют 180°. Поэтому ∠ABC = 180° − 20° = 160°.

Ответ: ∠ABC = 160°.