Задание 3. В группе 12 человек, из которых 5 - юноши. Выбирают двух человек. Найдите вероятность того, что:

Решение:

Всего в группе 12 человек. Из них 5 юношей, значит, девушек \( 12 - 5 = 7 \).

а) среди выбранных ровно одна девушка;

1. Вероятность выбрать первым юношу и второй девушку: \( P(\text{юноша, девушка}) = \frac{5}{12} \times \frac{7}{11} = \frac{35}{132} \).
2. Вероятность выбрать первой девушку и вторым юношу: \( P(\text{девушка, юноша}) = \frac{7}{12} \times \frac{5}{11} = \frac{35}{132} \).
3. Вероятность того, что среди выбранных ровно одна девушка (то есть один юноша и одна девушка), равна сумме этих вероятностей: \( P(\text{ровно одна девушка}) = \frac{35}{132} + \frac{35}{132} = \frac{70}{132} = \frac{35}{66} \).

б) оба выбранных — юноши;

1. Вероятность выбрать первого юношу: \( P(\text{1-й юноша}) = \frac{5}{12} \).
2. После выбора одного юноши остается 11 человек, из которых 4 юноши. Вероятность выбрать второго юношу: \( P(\text{2-й юноша} | \text{1-й юноша}) = \frac{4}{11} \).
3. Вероятность того, что оба выбранных — юноши: \( P(\text{оба юноши}) = \frac{5}{12} \times \frac{4}{11} = \frac{20}{132} = \frac{5}{33} \).

в) среди выбранных есть хотя бы один юноша.

Проще найти вероятность противоположного события — что оба выбранных окажутся девушками, а затем вычесть её из 1.

1. Вероятность выбрать первую девушку: \( P(\text{1-я девушка}) = \frac{7}{12} \).
2. После выбора одной девушки остается 11 человек, из которых 6 девушек. Вероятность выбрать вторую девушку: \( P(\text{2-я девушка} | \text{1-я девушка}) = \frac{6}{11} \).
3. Вероятность того, что обе выбранные — девушки: \( P(\text{обе девушки}) = \frac{7}{12} \times \frac{6}{11} = \frac{42}{132} = \frac{7}{22} \).
4. Вероятность того, что среди выбранных есть хотя бы один юноша: \( P(\text{хотя бы один юноша}) = 1 - P(\text{обе девушки}) = 1 - \frac{7}{22} = \frac{22-7}{22} = \frac{15}{22} \).

Ответ: а) \( \frac{35}{66} \); б) \( \frac{5}{33} \); в) \( \frac{15}{22} \).