Задание 3. В группе 12 человек, из которых 5 – юноши. Выбирают двух человек. Найдите вероятность того, что:

Решение:

Всего человек в группе: 12.

Количество юношей: 5.

Количество девушек: 12 - 5 = 7.

Выбирают двух человек. Общее число способов выбрать 2 человек из 12 находится по формуле сочетаний C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!):

• \[ C(12, 2) = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66 \]

Это общее число возможных исходов.

а) Среди выбранных ровно одна девушка;

Чтобы в группе из двух человек была ровно одна девушка, нужно выбрать 1 девушку из 7 и 1 юношу из 5.

• Число способов выбрать 1 девушку из 7: \[ C(7, 1) = \frac{7!}{1!(7-1)!} = 7 \]
• Число способов выбрать 1 юношу из 5: \[ C(5, 1) = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5 \]

Число благоприятных исходов = 7 * 5 = 35.

Вероятность = (Число благоприятных исходов) / (Общее число исходов)

• \[ P( ext{одна девушка}) = \frac{35}{66} \]

б) Оба выбранных — юноши;

Нужно выбрать 2 юношей из 5.

• Число способов выбрать 2 юношей из 5: \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 imes 4}{2 imes 1} = 10 \]

Вероятность = (Число благоприятных исходов) / (Общее число исходов)

• \[ P( ext{оба юноши}) = \frac{10}{66} = \frac{5}{33} \]

в) Среди выбранных есть хотя бы один юноша.

Противоположное событие – оба выбранных – девушки. Найдем вероятность этого события.

Нужно выбрать 2 девушек из 7.

• Число способов выбрать 2 девушек из 7: \[ C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 imes 6}{2 imes 1} = 21 \]

Вероятность, что оба выбранных – девушки:

• \[ P( ext{обе девушки}) = \frac{21}{66} \]

Вероятность того, что есть хотя бы один юноша, равна 1 минус вероятность того, что оба – девушки:

• \[ P( ext{хотя бы один юноша}) = 1 - P( ext{обе девушки}) = 1 - \frac{21}{66} = \frac{66 - 21}{66} = \frac{45}{66} = \frac{15}{22} \]

Финальный ответ:

Ответ:

• а) Вероятность того, что среди выбранных ровно одна девушка, равна 35/66.
• б) Вероятность того, что оба выбранных — юноши, равна 5/33.
• в) Вероятность того, что среди выбранных есть хотя бы один юноша, равна 15/22.