Задание 3. В основании пирамиды (рис. 3) лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Все боковые рёбра пирамиды равны 13. Найдите высоту пирамиды.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Гипотенуза этого треугольника равна $$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$.
2. Шаг 2: Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. Радиус описанной окружности $$R = rac{c}{2} = rac{10}{2} = 5$$.
3. Шаг 3: Все боковые рёбра пирамиды равны 13. Это означает, что вершина пирамиды находится на одинаковом расстоянии от всех вершин основания. Следовательно, вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания.
4. Шаг 4: Высота пирамиды (h), радиус описанной окружности (R) и боковое ребро (l) образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: $$h^2 + R^2 = l^2$$.
5. Шаг 5: Подставляем известные значения: $$h^2 + 5^2 = 13^2$$. $$h^2 + 25 = 169$$. $$h^2 = 169 - 25 = 144$$. $$h = \sqrt{144} = 12$$.

Ответ: 12